Exercice 1
a) Du développement en série de Fourier \( f\left( x\right) =x \) de sur \( \left[ -\pi ,\pi \right] \) déduire la somme de la série \( \sum ^{+\infty }_{k=0}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{2k+1} \) .
a) Du développement en série de Fourier de \( f\left( x\right) =e^{x} \) , déduire la somme \( \sum ^{\infty }_{p=0}\dfrac{\left( -1\right) ^{p}}{p^{2}+1} \)
Exercice 2
Développer en série de Fourier la fonction défini par :
\( f\left( x\right) =\max \left( \sin x,0\right) \) .
Exercice 3
Développer en série de Fourier la fonction \( f \) \( 2\pi \) périodique définie sur \( \left[ -\pi _{1}\pi \right] \) par :
Déduire la valeur de \( \sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac{1-\cos \left( \dfrac{n}{2}\right) }{n^{2}} \)
Exercice 4
On considère la fonction f de période \( 2\pi \) définie sur \( \left[ -\pi ,\pi \right] \) par :
Montre que f est développables en série de Fourier et déterminer cette série
Exercice 5
Déterminer les séries de Fourier associées aux fonctions suivantes et étudier leur convergence
1) \( f:x\rightarrow x-E\left( x\right) \)
2) \( g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ,2\pi \)périodique et telle que \( \forall x\in [ -\pi ,\pi [ ,g\left( x\right) =x \)
3) \(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ,1- \)périodique et telle que \( \forall x\in \left[ -1,1\right] ,h\left( x\right) =x^{2} \)
4) \( k:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ,2l \) périodique et telle que :
Exercice 6
On désigne par f la fonction \( 2\pi \)-périodique impaire définie par :
Déterminer la série de Fourier qui lui est associée et préciser sa convergence
En déduire \( \dfrac{\pi }{4} \) comme somme d'une série
Exercice 7
Déterminer la série de Fourier associée à la fonction, \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) \( x\rightarrow \arcsin \left( mx\right) \)
Exercice 8
Montrer que pour x apparteneant à \( \mathbb{R} \),
\( \left| \sin x\right| =\dfrac{8}{\pi }\sum ^{\infty }_{k=1}\dfrac{\sin ^{2}\left( kx\right) }{4k^{2}-1} \)
Exercice 9
Montrer que la fonction \( 2\pi \)périodique, paire définie sur \( \left[ 0,\pi \right] \) par \( f\left( x\right) =\pi -2x \) est développable en serie de Fourier En déduire la somme \( \sum _{k\geq 0}\dfrac{1}{\left( 2k+1\right) ^{2}} \)
Exercice 10
Soit f la fonction impaire sur \( \mathbb{R} ^{\ast } \) de période 2 définie sur \( \left[ 0,1\right] \) par :
a) Développer en série de Fourier
b) Comparer f et sa série de Fourier
Exercice 11
On considère la fonction f paire, \( 2\pi \)périodique définie par , \( f\left( x\right) =1-\dfrac{2x}{\pi } \) si \( 2\pi \)
1) Déterminer la série de Fourier associée à f
2) Montrer que f est développable en série de Fourier et que cette série converge sur \( \mathbb{R} \)
3) En déduire : \( \sum ^{+\infty }_{k=0}\dfrac{1}{\left( 2k+1\right) ^{2}} \) et \( \sum ^{+\infty }_{n=1}\dfrac{1}{n^{2}} \)
Exercice 12
On considère la fonction impaire , \( 2\pi \)-périodique définie par :
\( f\left( x\right) =x\left( 1-x\right) \) si \( x\in \left[ 0,1\right] \)
1) Déterminer la série de Fourier associée
2) Montrer que cette série converge sur \( \mathbb{R} \)
3) Montrer que f est développable en série de Fourier
4) En déduire la suite \( \alpha _{n} \) telle que \( 1-2x=\sum \alpha _{n}\cos \left( n\pi x\right) \) , pour tout \( x\in \left[ 0,1\right] \)
5) Trouver les valeurs des deux séries suivantes \( \sum ^{+\infty }_{n=1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{\left( 212+1\right) ^{3}} \) et \( \sum ^{+\infty }_{k=0}\dfrac{1}{\left( 2k+1\right) ^{2}} \)
6) En utilisant la question 3 déduire le développement en série de Fourier de la fonction g , \( 2\pi \)- périodique, impaire définie par : \( g\left( x\right) =x\left( \pi -x\right) \) si \( x\in \left[ 0,\pi \right] \)
Exercice 13
Soit t un réel \( 0 <t <1 \) et soit f la fonction, \( 2\pi \)-périodique définie dans \( [ -\pi _{1}\pi [ \) par \( f\left( x\right) =\cos \left( tx\right) \)
a) Montrer que f est développable en série de Fourier
b) Ecrire \( f\left( \pi \right) \) et déduire que \( \sum ^{+\infty }_{n=1}=\dfrac{2t^{2}}{n^{2}-t^{2}}=1-\dfrac{\pi t}{tg\left( \pi t\right) } \)
Exercice 14
Soient f et g les fonctions, \( 2\pi \)_périodique définies sur \( \left[ 0,\pi \right] \) par :
avec f est paire et g impaire sur \( \mathbb{R} ^{\ast } \)
1)
a) Calculer les coefficients de Fourier de f
b) Montrer que f est développable en série de Fourier
c) Montrer que la série de Fourier , associé à f converge sur \( \mathbb{R} \)
2)
a) Calculer les coefficients de Fourier de g
b) g est elle développable en série de Fourier
3)
Soit h la fonction \( 2\pi \) - périodique, définie sur \( [ -\pi ,\pi [ \) par :
a) Montrer que \( \forall x\in \mathbb{R} ,f\left( x\right) +g\left( x\right) =h\left( x\right) \)
b) En déduire les coefficients de Fourier de h
c) h est-elle développable en série de Fourier
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