Mécanique du point
📗 Salut tout le monde, dans cet article je vais vous présenter un cours complet de la mécanique du point, et des exercices corrigés.
📌 Introduction
La mécanique est la partie de la physique qui permet de d’écrire et de comprendre les mouvements des corps matériels. Dans la mécanique, on peut distinguer trois grandes parties : la cinématique, la dynamique et la statique. La cinématique est la partie de la mécanique qui décrit les mouvements sans envisager les causes, les circonstances et les effets de ces mouvements. La dynamique est la partie de la mécanique qui cherche à expliquer les causes des mouvements. La statique est la partie de la mécanique qui étudie les situations caractérisées par l’absence de mouvement.
📋 Chapitre 1 : Cinématique
2. NOTIONS IMPORTANTES
2.1 MOBILE PONCTUEL
2.2 POSITION
2.3 SYSTEME DE REFERENCE OU REFERENTIEL
2.4 TRAJECTOIRE D’UN MOBILE
2.5 ABSCISSE CURVILIGNE
2.6 SYSTEMES DE COORDONNES
2.6.1 DEFINITION
2.6.2 COORDONNEES CARTESIENNES
2.6.3 COORDONNEES CURVILIGNES
3. VITESSE DU POINT MATERIEL
3.1 VITESSE MOYENNE 3.2 VITESSE INSTANTANEE
4. ACCELERATION DU POINT MATERIEL
4.1 ACCELERATION MOYENNE
4.2 ACCELERATION INSTANTANEE
5. TRIEDRE DE FRENET
6. TYPES DE MOUVEMENT
6.1 MOUVEMENT RECTILIGNE
6.2 MOUVEMENT CIRCULAIRE
6.3 MOUVEMENT HELICOIDAL
6.4 MOUVEMENT A ACCELERATION CENTRALE
6.4.1 LOI DES AIRES
6.4.2 FORMULES DE BINET
6.5 CHANGEMENT DE REPERE
6.5.1 POINT COINCIDANT
6.5.2 COMPOSITION DES VITESSES
6.5.3 DERIVATION CINEMATIQUE
6.5.4 COMPOSITION DES ACCELERATIONS
📋 Chapitre 2 : Cinématique
1) RAPPELS ET DEFINITION
2) PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE
3) NATURE DES FORCES
3.1) FORCES A DISTANCE
3.1.1) FORCE D’ATTRACTION UNIVERSELLE
3.1.2) FORCE ELECTROSTATIQUE
3.2) FORCES DE CONTACT
3.3) FORCES D’INERTIE D’ENTRAINEMENT ET DE CORIOLIS
4) DEFINITION DU MOMENT CINETIQUE
5) THEOREME DU MOMENT CINETIQUE
6) DEFINITION DU MOMENT DYNAMIQUE
7) EQUILIBRE D’UN POINT DANS UN REFERENTIEL
Exercices et problèmes corrigés
Exercice 1
Un mobile M d'écrit une hélice circulaire d'axe Oz, définie par les équations en coordonnées cartésiennes:
$$\begin{cases} x=R\,cosθ \\ y=R\,sinθ \\ z=hθ\end{cases} $$
\(R\) : rayon de l'hélice
\(h\) : pas de l'hélice
1) Le mouvement est défini par la loi θ(t)=ωt.
a) Déterminer la vitesse du mobile M et son module .
b) Déterminer l'accélération du mobile M .
2) Dans le cas où ω constante, que peut-on dire de l'accélération ?
a) En déduire l'expression du rayon de courbure ρ de la trajectoire
b) Exprimer la vitesse et l'accélération avec les coordonnées cylindriques ( fonction de \(R\), \(h\), et ω)
⬇️ Correction ⬇️
Exercice 2
1) Exprimer, en fonction du paramètre θ, la vitesse et l'accélération de A par rapport à \(R_{1}\)(O,\(X_{1}\),\(Y_{1}\),\(Z_{1}\)), dans la base Serret Frenet
2) Écrire, dans la base de \(R_{1}\), la vitesse d'entrainement, l'accélération d'entrainement et l'accélération de Coriolis
3) en déduire la vitesse et l’accélération de A par rapport à \(R\), exprimées dans la base de \(R_{1}\).
4) Retrouver ces résultats directement à partir des composantes de \(\overrightarrow{OA}\) dans la base de \(R_{1}\)
Exercice 3
Un point matériel M se déplace dans un plan (O,\(\vec{e_x}\),\(\vec{e_y}\)) de telle sorte que :
\(\overrightarrow{OM}=a\ \cos{ωt\ \vec{e_x}+\sin{ωt\vec{{\ e}_y}}}\)
\(a\),\(b\) et ω sont des paramètres constants .
1- donner les coordonnées des vecteurs vitesse et accélération du point matériel
2- Trouver l'expression du cosinus de l'angle que fait le vecteur position avec le vecteur vitesse.
3- Déduire en fonction de \(a\),\(b\) et ω tous les vecteurs vitesses et accélérations où le vecteur position et le vecteur vitesse sont perpendiculaires.
Exercice 4
Un point matériel M décrit sur l'axe x'Ox un mouvement sinusoïdal d'équation:
\(x=a\sin{(\omega\ t}+\varphi)\)
Désignons par \(x_{0}\) et \(v_{0}\) respectivement la position et la vitesse à l'instant initial \(t=0\).
Calculer la valeur de l'amplitude \(a\) et de la tangente de la phase initiale \(\tan{\varphi}\) sachant que : \(\frac{v_0}{\omega}\) et \(x_{0}=4 cm\)
Exercice 5
Comment elles sont les directions des vecteurs position et accélération pour un mouvement à accélération centrale?
Démontrer que pour tel mouvement, le vecteur \(\overrightarrow{OM}\land\overrightarrow{V}\) ( position vectoriel vitesse) est un vecteur constant
Dans le référentiel terrestre \(R(O\),\(\overrightarrow{i}\),\(\overrightarrow{j}\),\(\overrightarrow{k}\)) considéré comme galiléen, une tige tourne dans le plan horizontal ( O,\(\overrightarrow{i}\),\(\overrightarrow{j}\)) autour de son extrémité O à la vitesse angulaire constante \(\overrightarrow{\omega}\)=\(\omega\overrightarrow{k}\). Sur cette tige, un anneau M de masse m peut coulisser sans frottement et est soumis à une force de rappel élastique \(F=-k(r-r_0)\overrightarrow{u}\) avec \(\overrightarrow{OM}=r\overrightarrow{u_r}\), l'anneau partant à \(t=0\) de \(M_0 ( \overrightarrow{{OM}_0} =r_0\overrightarrow{i\ }\)) sans vitesse initiale par rapport à tige ( voir la figure ci-dessous) . En écrivant la relation fondamentale de la dynamique du point matériel dans le référentiel \(R^\ast(\ O,\ \overrightarrow{u_r}\ ,\overrightarrow{u_0}\ ,\overrightarrow{\ k}\)) lié à la tige, établir l'équation différentielle du mouvement de l'anneau. Quelle est la nature du mouvement si on a \(\frac{k}{m}\ -\omega>0\)
Exercice 7
Un pendule est constitué d'une masse m accroché au point \(m\) à un fil de masse négligeable et de longueur \(L\). Le fil est repéré par rapport à la verticale par l'angle \(\theta\). Le mouvement s'effectue sans frottement.
1) Faire le bilan des forces
2) Calculer les moments des forces par rapport au point \(O\) origine du repère fixe \(R\) (\(Oxyz\)).
3) Calculer la vitesse du point \(M\) par rapport à \(R\) .
4) Calculer le moment cinétique de \(M\) au point \(O\).
5) En utilisant le théorème du moment cinétique, établir l'équation différentielle en \(\theta\), du mouvement de \(M\) par rapport à \(R\).
⬇️ Correction ⬇️
Exercice 8
Dans un référentiel galiléen \(R( O,\) \(\overrightarrow{e_x}\),\(\overrightarrow{e_y}\) , \(\overrightarrow{e_z}\)), un point matériel \(M\) de masse \(m\) est accroché à l'extrémité d'un fil de masse négligeable, de longueur \(l\) ,lui-même fixé à un point \(C\) de l'axe vertical \(Oz\). On constitue un pendule conique en mettant le point matériel \(M\) en rotation uniforme dans le plan \(xOy\) autour de l'axe \(Oz\). On repère la position de \(M\) par l'angle \(\theta=(\ \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{OM}\)). l'angle entre l'axe et le fil reste constant et égal à \(\alpha( \alpha <\frac{\pi}{2}\)).
1) Déterminer les vecteurs vitesse v et accélération du point matériel \(M\).
2) Montrer que la tension \(T\) du fil reste constante au cours de la rotation du pendule.
3) déterminer la vitesse angulaire minimum \(\omega_{min}\) pour que le pendule puisse fonctionner.
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